Math

Notes de mathématiques de Arthur.
Attention, il y a peut-être des fautes !

Opérateurs logiques

Set Set Math Logic Prog Bool door table
∩ ∧ AND && • 00 0
01 0
10 0
11 1
∪ ∨ OR || + 00 0
01 1
10 1
11 1
Δ ⊖ XOR ⊕ 00 0
01 1
10 1
11 0
XNOR ⊙ 00 1
01 0
10 0
11 1

Karnaugh

A
0 1
B 2 3

A
0 2 3 1
C 4 6 7 5
B

A
0 4 12 8
1 5 13 9 D
C 3 7 15 11
2 6 14 10
B

Fonctions

Définition

\[ \begin{aligned} & f: && A && \to && B \\ & && x && \mapsto && f(x) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & fonction: && domaine && \to && codomaine \\ & && préimage && \mapsto && image \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & f: && A=Dom(f) && \to && Im(f)=f(A)\subseteq B \\ & && x && \mapsto && f(x) \end{aligned} \]

Composition de fonctions

\[ \begin{aligned} & f(x) = x^2 \\[1em] \end{aligned} \\ \begin{aligned} & f: && \mathbb{R} && \to && \mathbb{R}_+ \\ & && x && \mapsto && f(x) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & g(x) = ln(x) \\[1em] \end{aligned} \\ \begin{aligned} & g: && \mathbb{R}_+ && \to && \mathbb{R} \\ & && x && \mapsto && g(x) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & (\blue{f} \circ \orange{g})(x) \quad = \quad \blue{f(}\orange{g(}x\orange{)}\blue{)} \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} \\ & \mathbb{R}_+ \orange{\xrightarrow[]{g}} \mathbb{R} \blue{\xrightarrow[]{f}} \mathbb{R}_+ \\[1em] \end{aligned} \\ \begin{aligned} & \blue{f} \circ \orange{g}: && \mathbb{R}_+ && \to && \mathbb{R}_+ \\ & && x && \mapsto && (\blue{f} \circ \orange{g})(x) \end{aligned} \]

Fonctions "inverses"

fonction \[ f(x) \] \[ x^2-2x+1 \] \[ D(f)=\mathbb{R} \quad;\quad Im(f)=\mathbb{R}_+ \] opposée \[ -f(x) \] \[ -(x^2-2x+1) \] \[ D(-f)=\mathbb{R} \quad;\quad Im(f)=\mathbb{R}_- \]
? \[ f(-x) \] \[ (-x)^2-(-2x)+1 \] \[ D(?)=\mathbb{R} \quad;\quad Im(?)=\mathbb{R}_+ \] réciproque ("inverse") \[f^{-1}(x)\] \[ \left\{ \begin{array}{ll} x \ge 0 \quad 1 + \sqrt{x} \\[1em] x \le 0 \quad 1 - \sqrt{x} \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{ll} D(f^{-1})=\mathbb{R_+} \quad;\quad Im(f^{-1})=[1, \infty[ \\[1em] D(f^{-1})=\mathbb{R_+} \quad;\quad Im(f^{-1})=]-\infty , 1] \end{array} \right. \]

injectivif + surjectif = bijectif

\[ f(x) \] Injective
\[ x^2 \]
\[ e^x \]
Surjective
\[ x^3-x \]
\[ x^3 \]

Types de fonctions

\[ f(x) = \] \[ 0 \] \[ 3.7 \] \[ 2x \] \[ 3x + 4 \] \[ x \] \[ e^x \] \[ x^3 -x \] \[ x^3 \]
nulle constante linéraire affine monotone injective surjective bijective

Désambiguïsation des opérateurs et opérandes

bool scalaire vecteur matrice ensemble fonction relation
\[ + \] \[ a + b \] \[ A + B \] OU addition addition addition addition addition addition
\[ \] \[ ab \] \[ AB \] ET produit produit scalaire produit produit cartésien produit
\[ \cdot \] \[ a \cdot b \] \[ A \cdot B \] ET produit produit scalaire produit produit cartésien produit \[ \]
\[ \times \] \[ a \times b\] \[ A \times B \] ET produit produit vectoriel* produit produit cartésien produit \[ \]
\[ ^{-1} \] \[ a^{-1} \] \[ A^{-1} \] inverse inverse inverse réciproque inverse
\[ ' \] \[ a' \] \[ \] dérivée
\[ \circ \] \[ a \circ b \] \[ A \circ B \] \[ \] \[ \] \[ \] produit de Hadamard \[ \] composition composition
\[ || \] \[ |a| \] \[ |A| \] \[ \] valeur absolue (magnitude) déterminant cardinal cardinal
\[ \hat{} \] \[ \hat{a} \] \[ \] \[ \] normalisé
\[ ||~|| \] \[ ||a|| \] \[ \] \[ \] magnitude
\[ \overline{} \] \[ \overline{a} \] \[ \overline{A} \] moyenne \[ \] augmentée complément complément
\[ \cup \] \[ \] \[ A \cup B \] \[ \] \[ \] union union
\[ \cap \] \[ \] \[ A \cap B \] \[ \] \[ \] intersection intersection
\[ \bigtriangleup \] \[ \] \[ A \bigtriangleup B \] \[ \] \[ \] \[ \] différence exclusive différence exclusive

Ensembles

Définition

\[ \begin{aligned} Les \; & \blue{\mathbb{N}}aturels \\ Les \; & \blue{\mathbb{Z}}'entiers \\ Les \; & \blue{\mathbb{Q}}uotiens \\ Les \; & \blue{\mathbb{R}}éels \\ Les \; & \blue{\mathbb{C}}omplexes \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Les \; \mathbb{Z}'entiers \, \orange{\mathbb{N}}on\, \orange{\mathbb{N}}égatifs \end{aligned} \]
\[ A \in B \] A est dans B
\[ A \subseteq B \] A est faisable avec B
\[ \varnothing \subseteq \varnothing \\[2em] \varnothing \notin \{ 1 \} \\[2em] \varnothing \subseteq \{ 1 \} \]

Exemple

Ensemble

\[ \begin{aligned} & A = \{a, b, c\} \\[0.5em] & |A| = 3 \end{aligned} \]
a b c

Produit cartésien

\[ \begin{aligned} & A \times A = A^2 = \{(a, a), (a, b), ..., (c, c)\} \\[0.5em] & |A|^2 = 9 \\ \end{aligned} \]
a b c
a (a,a) (a,b) (a,c)
b (b,a) (b,b) (b,c)
c (c,a) (c,b) (c,c)

Parties

\[ \begin{aligned} & \mathscr{P}(A) = \{\varnothing, \{a\}, ..., \{a, b, c\}\} \\[1em] & | \mathscr{P}(A) | = 2^{|A|} = 2^3 = 8 \end{aligned} \]
a b c
∅
✔ {c}
✔ {b}
✔ ✔ {b, c}
✔ {a}
✔ ✔ {a, c}
✔ ✔ {a, b}
✔ ✔ ✔ {a, b, c}

Appartenances

\[ \begin{aligned} & A = \{a, b, c\} \quad; & B = \{a, b\} \quad; && C = \{\{a\}, \{b\}\} \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} & B : \quad & B \subseteq A \quad; && B \nsubseteq \mathscr{P}(A) \quad; && B \in \mathscr{P}(A) \quad; && B \notin A \\[0.5em] & C : \quad & C \nsubseteq A \quad; && C \subset \mathscr{P}(A) \quad; && C \notin\mathscr{P}(A) \quad; && C \notin A \\ \end{aligned} \]

Matrices

Définitions

matrice
élément
dimensions = 2 x 3
taille = 6

1 2 3
4 5 6

vecteur (ligne)


1 2 3

vecteur colonne


1
2
3

Types de matrices carrées

Matrice
triangulaire
supérieure

0
0 0

Matrice
triangulaire
inférieure

0 0
0

Matrice
diagonale

0 0
0 0
0 0

Matrice
identité

1 0 0
0 1 0
0 0 1

Matrice
nulle

0 0 0
0 0 0
0 0 0

Transposition

1 2 3
4 5 6
\[ \rightarrow \]
1 4
2 5
3 6

Algèbre matriciel

\[ \begin{aligned} & \text{Pour des matrices de même dimensions} \\ & \text{Pour } A^{-k} \text{ il faut que A soit inversible} \end{aligned} \]
\[ \text{Déterminant} \\ \Rightarrow \text{matrice carrée} \]
\[ A ~~ \otimes ~~ (B \otimes C) \quad = \quad (A \otimes B) ~~ \otimes ~~ C \]
\[ A + B = B + A \] \[ (A + B)^T = A^T + B^T \] \[ \]
\[ A B \neq B A \] \[ (AB)^T = B^TA^T \] \[ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \] \[ |AB| = |A||B| \]
\[ \lambda A = A \lambda \] \[ (\lambda A)^T = \lambda A^T \] \[ |\lambda A| = \lambda^n |A| \] \[ |A| = |A^T| \]
\[ AI = IA = A \] \[ AA^{-1} = A^{-1}A = I \]
\[ (A^n)^m = A^{nm} \] \[ (A^T)^T = A \] \[ (A^k)^T = (A^T)^k \] \[ |A^k| = |A|^k \]
\[ A \text{ inversible } \Rightarrow \quad A^T \text{ inversible }, \quad \lambda A^k \text{ inversible } \]
\[ \begin{aligned} & L_x = L_y \quad \text{ou} \quad C_x = C_y \quad && \Rightarrow |A| = 0 \\[1em] & L_x = 0 \quad \text{ou} \quad C_x = 0 \quad && \Rightarrow |A| = 0 \\ & \text{matrice triangulaire} && \Rightarrow |A| = \prod_{k=1}^n a_{kk} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & \text{opérations sur les lignes} \\[1em] & \lambda L_x && \Rightarrow && \lambda |A| \\ & L_x + k L_y && \Rightarrow && \lambda |A| \\ & L_x \Longleftrightarrow L_y && \Rightarrow && -|A| \end{aligned}\]
\[ \begin{aligned} & A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T \end{aligned} \]

Calcul de matrice inverse d'ordre 2

\[ A^{-1} = \left[ \begin{array}{c} a ~~ b \\ c ~~ d \end{array} \right] = \frac{1}{ad - bc} \left[ \begin{array}{c} d & -b \\ -c & a \end{array} \right] \]

Matrices inverses et système homogène

\[ \vec{b} = 0 \] \[ \vec{b} \neq 0 \]
\[ |A| = 0 \] \[ \infty \] \[ 0 ~ ou ~ \infty \] \[ \red{\sout{A^{-1}}} \]
\[ |A| \neq 0 \] \[ \vec{x} = 0 \] \[ \vec{x} = A^{-1}\vec{b} \] \[ A^{-1} \]
\[ homogène \] \[ inhomogène \]

Règle de Cramer

\[ \begin{aligned} & \text{Pour un système d'équation :} \\ & ax_1 + bx_2 + cx_3 = b_1 \\ & dx_1 + ex_2 + fx_3 = b_2 \\ & gx_1 + hx_2 + ix_3 = b_3 \\\\ & \text{on peut établir la multiplication de matrice :} \\ & \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} \\\\ & \text{Soit :} \\ & M \vec{x} = \vec{b} \\\\ & \text{Solution avec la méthode de Cramer :} \\ & x_k = \frac{\left| A_k \right|}{\left| A \right|}, \quad \text{où} \quad A_k \text{ est la matrice } A \text{ dont la colonne } k \text{ a été remplacée par } \vec{b} \\\\ & x_1 = \frac{\left| \begin{matrix} b_1 & b & c \\ b_2 & e & f \\ b_3 & h & i \end{matrix} \right|}{\left| A \right|}, \quad x_2 = \frac{\left| \begin{matrix} a & b_1 & c \\ d & b_2 & f \\ g & b_3 & i \end{matrix} \right|}{\left| A \right|}, \quad x_3 = \frac{\left| \begin{matrix} a & b & b_1 \\ d & e & b_2 \\ g & h & b_3 \end{matrix} \right|}{\left| A \right|} \end{aligned} \]

Gauss-Jordan

Système d'équation de base
\[ \begin{aligned} a_1 x_1 && + && a_2 x_2 && + && ... && = && R_1 \\ b_1 x_1 && + && b_2 x_2 && + && ... && = && R_2 \\ ... && + && ... && + && ... && = && ... \\ \end{aligned} \]
Création des matrices utiles
\[ A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ... \\ b_1 & b_2 & ... \\ ... & ... & ... \end{bmatrix} \]
\[ \overrightarrow{ix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \end{bmatrix} \]
\[ \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ ... \end{bmatrix} \]
Matrice augmentée
\[ \begin{aligned} & \overline{A} = [A ~ | ~ \overrightarrow{b}] \end{aligned} \]
\[ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ... & | & R_1 \\ b_1 & b_2 & ... & | & R_2 \\ ... & ... & ... & | & ... \\ \end{bmatrix} \]
  • Méthode :
    • échelonnement
    • réduction
  • Opérations :
    • \[ L_x \cdot x, ~~x \in \mathbb{R}^* \]
    • \[ L_x \cdot x \cdot L_y, ~~x \in \mathbb{R}^* \]
    • permuter lignes

Exemple de matrice échelonnée réduite :

\[ \begin{aligned} & \green{1 \text{ directeur}} \quad \orange{0 \text{ obligatoire}} \\ & \begin{bmatrix} \green{1} & \orange{0} & \frac{3}{5} & \orange{0} & | & 10 \\ \orange{0} & \green{1} & 3 & \orange{0} &| & 5 \\ \orange{0} & \orange{0} & \orange{0} & \green{1} & | & 3 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Echelonnement - réduction

Formule de Laplace (matrices)

\[ \begin{aligned} & det(A) = |A| = \quad \sum_{i=1}^{n} (a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot |A_{\orange{\setminus i \setminus j}}| ) \\ \end{aligned} \]

Matrices de Relations

Exemple

\[ \begin{aligned} & A = \{ a,b,c \} \\[0.5em] & B = \{ x,y \} \\[0.5em] & R = \{ (b,x),(c,x),(c,y) \} \\[0.5em] & R \subseteq A \times B \end{aligned} \]
\[ R \] x y
a
b ✔
c ✔ ✔

Propriétés

Réflexivité

1
1
1
\[ aRa \]

Symétrie

● ▲
● ■
▲ ■
\[ aRb \Leftrightarrow bRa \]

Antisymétrie

● ▲
○ ■
△ □
\[ aRb \Leftrightarrow b\cancel{R}a \]

Transitivité

1 1 1
0 1 1
0 0 1
\[ R^2 \subseteq R \]

Ordre partiel

  • Réflexive
  • Symétrique
  • Antisymétrique
  • Transitive
  • Tous les éléments
    sont comparables

Ordre total

  • Réflexive
  • Symétrique
  • Antisymétrique
  • Transitive
  • Tous les éléments
    sont comparables

Equivalence

  • Réflexive
  • Symétrique
  • Antisymétrique
  • Transitive
  • Tous les éléments
    sont comparables
\[ [a]_R \;,\; [b]_R \]
Refl. Sym. Ant. Tran. Tout. exemple
classique
relation d'ordre total ✔ ✔ ✔ ✔ \[ \le \]
relation d'ordre partiel ✔ ✔ ✔ \[ \subseteq \]
relation d'équivalence ✔ ✔ ✔ ~ \[ = \]

Exemple de calcul de la transitivité

Vide = 0 (pour la lisibilité)
En blanc : cette valeur et aucune autre
Vide : n'importe quelle valeur
Forme pleine et même forme pleine = même valeur
Forme pleine et même forme vide = valeur opposée
En vert, cette valeur ou 0
En bleu, valeurs exemples

\[ \begin{aligned} & R^2 \subseteq R \end{aligned} \]
1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
\[ M(R) \\[0.5em] - \]
1
2 2
2 2
2 1
2 3 3 1
\[ M(R)^2 \\[0.5em] - \]
1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
\[ M(R^2) \\[0.5em] M(R \circ R) \]

Suites et Séries

Sommes

\[ k \ge 1 \quad a_0 \in \mathbb{R} \] \[ S(n) = \]
formule
récursive		 formule
directe		 \[ \sum_{k=i}^{n} (a_k) \] \[ \sum_{k=i}^{\infin} (a_k) \]
arithmétique \[ a_k = a_{k - 1} + r \] \[ a_k = a_0 + r \cdot k \] \[ \begin{aligned} nbt \cdot \frac{p + d}{2} \end{aligned} \]
géométrique \[ a_k = a_{k - 1} \cdot r \] \[ a_k = a_0 \cdot r^k \\[1em] \] \[ \frac{p - d \cdot r}{1 - r} \\[1em] \] \[ \frac{a_0}{1 - r} \]

Quelques

\[ \begin{aligned} & \sum_{k=1}^{} = 1,~ 3,~ 6,~ 10,~ 15, ... \\ & \prod_{k=1}^{} = 1,~ 2,~ 6,~ 24,~ 120, ... \end{aligned} \]

Égalités

\[ \bigoplus \] \[ \sum \] \[ \prod \]
\[ \bigoplus_{k=1}^n (c) \] \[ n c \] \[ c^n \]
\[ \bigoplus_{k=1}^n (k) \] \[ \frac{n (n + 1)}{2} \] \[ n! \]
\[ \bigoplus_{k=1}^n (a_k \cdot c) \] \[ c \cdot \sum_{k=1}^n (a_k) \] \[ c^n \cdot \prod_{k=1}^n (a_k) \]
\[ \bigoplus_{k=i}^n \bigoplus_{l=j}^m (a_k \cdot b_l) = \bigoplus_{k=i}^n (a_k) \cdot \bigoplus_{l=j}^m (b_l) \\[1em] \]
\[ \begin{aligned} \bigoplus_{k=i}^n (a_k \oplus b_k) \quad = \quad \bigoplus_{k=i}^n (a_k) ~ \oplus ~ \bigoplus_{k=i}^n (b_k) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \orange{\bigoplus_{k=i}^n} \blue{\bigotimes_{l=j}^m} (a_{\orange{i} \blue{j}}) \quad = \quad \blue{\bigotimes_{l=j}^m} \orange{\bigoplus_{k=i}^n} (a_{\orange{i} \blue{j}}) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & \bigoplus_{i = 1}^n \bigoplus_{\orange{j = i}}^n (a_{ij}) \quad = \quad \bigoplus_{j = 1}^n \bigoplus_{i = 1}^\orange{j} (a_{ij}) \end{aligned} \]

Parallèles ou autres notations non conventionnelles

\[ \begin{aligned} & \sum_{i \in I}^n \sum_{j = F(i)}^n (a_{ij}) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & f : && \mathbb{N} && \rightarrow && \mathbb{R} \\[1em] & && i && \mapsto && a_i \end{aligned} \]

Dérivées et intégrales

Attention à ajouter la constante

Primitive Fonction Dérivée
\[ \frac{a\blue{x}^{b + 1}}{b + 1} + c\blue{x} \] \[ a \blue{x}^b + c \] \[ b a \blue{x}^{b - 1} \]
\[ \frac{a b^{c \blue{x} + d}}{c ~ ln(b)} + e \blue{x}\] \[ ab^{c\blue{x} + d} + e \] \[ cab^{c\blue{x} +d} ln(a) \]
\[ \frac{\blue{x} log_a(\blue{x})}{ln(a)} \] \[ log_a( \blue{x} ) \] \[ \frac{1}{ \blue{x} ln(a)} \]
\[ \] \[ \blue{x}^{\blue{x}} \] \[ \blue{x}^{\blue{x}}ln(\blue{x} + 1) \]
Fonction Dérivée
\[ a \cdot f(\blue{x}) \] \[ a \cdot f'(\blue{x}) \]
\[ f(\blue{x} )\green±g(\blue{x} )\] \[ f'(\blue{x} )\green±g'(\blue{x} )\]
\[ f(\blue{x}) \cdot g(\blue{x}) \] \[ f'(\blue{x}) \cdot g(\blue{x}) + f(\blue{x}) \cdot g'(\blue{x} )\]
\[ \frac{f(\blue{x})}{g(\blue{x})} \] \[ \frac{f'(\blue{x}) g(\blue{x}) - f(\blue{x}) g'(\blue{x})}{(g(\blue{x}))^2} \]
\[ f(g(h(\blue{x}))) \] \[ f'(g(h(\blue{x}))) \cdot g'(h(\blue{x})) \cdot h'(\blue{x}) \]
\[ f^{-1}(\blue{x}) \] \[ \frac{1}{f'(f^{-1}(\blue{x}))} \]
Fonction Dérivée Fonction Dérivée
\[ sin(\blue{x}) \] \[ cos(\blue{x}) \] \[ cos(\blue{x}) \] \[ -sin(\blue{x} )\]
\[ tan(\blue{x}) \] \[ 1 + tan^2(\blue{x}) \] \[ cot(\blue{x}) \] \[ -(1 + cot^2(\blue{x})) \]
\[ sec(\blue{x}) \] \[ sec(\blue{x})tan(\blue{x}) \] \[ csc(\blue{x}) \] \[ -csc(\blue{x})cot(\blue{x}) \]
\[ sin^{-1}(\blue{x}) \] \[ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \] \[ cos^{-1}(\blue{x}) \] \[ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]
\[ tg^{-1}(\blue{x}) \] \[ \frac{1}{1 + \blue{x}^2} \] \[ cot^{-1}(\blue{x}) \] \[ -\frac{1}{1 + \blue{x}^2} \]
\[ sec^{-1}(\blue{x}) \] \[ \frac{1}{|\blue{x}|\sqrt{\blue{x}^2 - 1}} \] \[ csc^{-1}(\blue{x}) \] \[ -\frac{1}{|\blue{x}|\sqrt{\blue{x}^2 - 1}} \]
\[ \begin{aligned} & \int_\orange{a}^\orange{b} f(x)dx = \orange{-} \int_\orange{b}^\orange{a} f(x)dx \\[2em] & \int u' e^{u} dx = e^{u} + C \\[2em] & \int \frac{u'}{u} dx = ln(u) + C \\[2em] & \int \frac{u'}{1 + u^2} = tg^{-1} (u) + C \\[2em] & \int u'u^n dx = \frac{u^{n + 1}}{n + 1} + C \end{aligned} \]
Intégrales simples
Fonction Dérivée
\[ \frac{1}{3} \blue{u}^3 \] \[ \blue{u}^2 \blue{u}' \]
\[ \frac{1}{2} \blue{u}^2 \] \[ \blue{u} \blue{u}' \]
\[ \blue{u} \] \[ \blue{u}' \]
\[ ln(\blue{u}) \] \[ \frac{\blue{u}'}{\blue{u}} \]
\[ - \frac{1}{\blue{u}} \] \[ \frac{\blue{u}'}{\blue{u}^2} \]
\[- \frac{1}{2\blue{u}^2} \] \[ \frac{\blue{u}'}{\blue{u}^3} \]
Intégrales utiles
Fonction Dérivée
\[ \blue{x} ~ ln(\blue{x}) - x \] \[ ln(\blue{x}) \]
\[ ln(\blue{u}^n) \] \[ \frac{n}{\blue{u}} \]
\[ atg(\blue{u}) \] \[ \frac{\blue{u}'}{1 + \blue{u}^2} \]
\[ \frac{1}{a} atg(\frac{\blue{u}}{a}) \] \[ \frac{\blue{u}'}{a^2 + \blue{u}^2} \]
\[ (\blue{u} \blue{v})' - \blue{u}' \blue{v} \] \[ \blue{u} \blue{v}' \]

Taylor-Young et Maclaurin

\[ t(\blue{x}) = f(x_0) + f'(x_0)(\blue{x} - x_0) \] \[ \begin{aligned} & \text{linéarisation en } x_0 \\ & \text{fonction de la tangente en } x_0 \end{aligned}\]
\[ \begin{aligned} & T_1(\blue{x}) = f(x_0) + f'(x_0)(\blue{x} - x_0) + o(x) \\[2em] & T_2(\blue{x}) = f(x_0) + f'(x_0)(\blue{x} - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(\blue{x}-x_0) + o(x^2) \\[2em] & T_3(\blue{x}) = f(x_0) + f'(x_0)(\blue{x} - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(\blue{x}-x_0) + \frac{f'''(x_0)}{3!}(\blue{x}-x_0) +o(x^3) \end{aligned}\]
\[ T_n(\blue{x}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (\blue{x} - x_0)^k + R_n(x) \] Formule générale
\[ \begin{aligned} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \quad = \quad \lim_{x \to x_0} \frac{F_n(x) + o(x^n)}{G_n(x) + o(x^n)} \quad \overset{x_0 = 0}{=} \quad \lim_{x \to x_0} \frac{f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^k(0)}{k!}x^k}{g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2!}x^2 + \frac{g'''(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{g^k(0)}{k!}x^k} \end{aligned}\]

Trigonométrie

\[ \gray{\tau = 2 \pi} \] \[ 0 \] \[ \frac{\tau}{12 }\] \[ \frac{\tau}{8} \] \[ \frac{\tau}{6} \] \[ \frac{\tau}{4} \]
\[ sin \] \[ \frac{\sqrt{\green{0}}}{2} \] \[ \frac{\sqrt{\green{1}}}{2} \] \[ \frac{\sqrt{\green{2}}}{2} \] \[ \frac{\sqrt{\green{3}}}{2} \] \[ \frac{\sqrt{\green{4}}}{2} \]
\[ cos \] \[ \frac{\sqrt{\green{4}}}{2} \] \[ \frac{\sqrt{\green{3}}}{2} \] \[ \frac{\sqrt{\green{2}}}{2} \] \[ \frac{\sqrt{\green{1}}}{2} \] \[ \frac{\sqrt{\green{0}}}{2} \]
\[ tan \] \[ 0 \] \[ \frac{1}{\sqrt{\green{3}}} \] \[ 1 \] \[ \frac{\sqrt{\green{3}}}{1} \] \[ - \]

Quotients

\[ \begin{aligned} & \orange{\frac{sin}{cos}} = \frac{\green{tan}}{1} = \frac{1}{\green{cot}} = \blue{\frac{sec}{csc}} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & \blue{sec} = \frac{1}{\orange{cos}} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & \blue{csc} = \frac{1}{\orange{sin}} \end{aligned} \]

Angles

\[ \begin{aligned} & c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\,cos(\theta) \\[1.5em] & \frac{A}{sin(\alpha)} = \frac{B}{sin(\beta)} = \frac{C}{sin(\gamma)} \end{aligned} \]

Sommes

\[ \begin{aligned} & sin(\alpha \green± \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) \; \green± \; cos(\alpha)sin(\beta) \\[1.5em] & \rightarrow \quad sin( 2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha) \\[2.5em] & cos(\alpha \green± \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) \; \red∓ \; sin(\alpha)sin(\beta) \\[1.5em] & \rightarrow \quad cos(2 \alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) \\[2.5em] & tan(\alpha \green± \beta) = \frac{tan(\alpha) \green± tan(\beta)}{1 \red∓ tan(\alpha)tan(\beta)} \\[1.5em] & \rightarrow \quad tan(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1 - tan^2(\alpha)} \end{aligned} \]

Pythagore

\[ \begin{aligned} & sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1 \\[1.5em] & \blue{co}sec^2(\theta) - \blue{co}tan^2(\theta) = 1 \end{aligned} \]

Vecteurs

\[ \begin{aligned} & a \cdot b = a_x b_x + a_y b_2 + a_z b_z \\[1.5em] & a \times b = (a_y b_z - a_z b_y, \quad a_z b_x - a_x b_z, \quad a_x b_y - a_y b_x) \\[1.5em] & s = ||a|| cos(\theta) = a \cdot \hat{b} \\[1.5em] & \theta = cos^{-1} \frac{a \cdot b}{||a|| \cdot ||b||} \end{aligned} \]

Identités remarquables

\[ \begin{aligned} (a \green± b)^2 &= a^2 \green±2 ab + b^2 \\[1.5em] a^2 - b^2 &= (a + b)(a - b) \\[1.5em] (a \green± b)^3 &= a^3 \green± 3 a^2 b + 3 a b^2 \green± b^3 \\[1.5em] a^3 \green± b^3 &= (a \green± b)(a^2 \red∓ ab + b^2) \end{aligned} \]
\[ ax^2 + bx + c = 0 \\[1.5em] x = \frac{-b \green± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[1.5em] a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \\[1.5em] Discriminant : b^2 - 4ac \]

Logarithmes

\[ x = a^{log_a(x)} \\[1.5em] log_a(a) = 1 \\[1.5em] b ~ log_a(a^b) = 1 \]
\[ a^{b}=c \\[1.5em] log_a\,(c)=b=\frac{log_x\,(c)}{log_x(a)} \\[1.5em] log_x \, (c) = b \; log_x\,(a) \]
\[ log(a b) = log(a) + log(b) \\[1.5em] log(\frac{a}{b}) = log(a) - log(b) \]

Calculs de taux

\[ A = P(1 + r)^{n} \\[1.5em] P = \frac{A}{(1 + r)^n} \\[1.5em] r = \sqrt[n]{\frac{A}{P}} - 1 \\[1.5em] n = \frac{log \frac{A}{P}}{log(1 + r)} \\[1.5em] \]

Euler et nombres complexes

\[ e^{i \theta} = cos \theta + i \sin \theta \\[1.5em] e^{i \pi} + 1 = 0 \\[1.5em] e^{i 2 k \pi} = 1 \\[1.5em] e^{i \pi} \cdot e^{i 2 k \pi} = 0 \]
\[ (a + i b )( c + i d) = a c - b d + i(b c + a d) \\[1.5em] (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i(b + d) \\[1.5em] (a + i b) - (c + i d) = (a + c) - i(b + d) \]

Statistiques

Ensemble Set {1, 3, 4, 7}
Somme Sum 15 \[\sum_{i=1}^{n}x_i\]
Moyenne Average 3.75 \[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\]
Mode Mode nul
Etendue Range 6 \[x_{max}- x_{min}\]
Ecart Moyen Mean Deviation 1.75 \[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|\]
Variance Variance \[V = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]
Ecart Type Standard Deviation \[\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\]
Autres
Somme des Ecarts Sum of Deviations \[\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|=0\]
Somme des Carres des Ecarts Sum of Squared Deviations \[\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]